La cuarta dimensión (parte I)

by Darío Franco on 27 junio, 2011 · 0 comments

Proyección tridimensional de un hipercubo

Hace ya un tiempo que cayó en mis manos el libro La cuarta dimensión de Raúl Ibáñez. Es un libro de divulgación matemática que plantea, con un lenguaje muy sencillo e intuitivo, algunas ideas sobre la existencia de una dimensión extra a las tres que estamos acostumbrados. Desde el punto de vista matemático, el espacio de cuatro, cinco o n dimensiones, es perfectamente posible. Para conseguir cuerpos de dimensiones superiores, sólo hay que proyectarlos en una dirección perpendicular al resto. Si proyectamos un punto (dimensión 0) en cualquier dirección, obtenemos un segmento de dimensión 1. Si proyectamos el segmento en una dirección perpendicular, obtenemos un cuadrado de dimensión 2. Proyectando el cuadrado en una dirección perpendicular a su plano, obtenemos un cubo de dimensión 3. Y al proyectar el cubo en una dirección perpendicular a las otras tres (x, y, z) obtendríamos un hipercubo de dimensión 4 (figura azul). Hasta el cubo no hay problema, pero el salto de tres a cuatro dimensiones somos incapaces de visualizarlo.

Para ayudarnos a entenderlo, el autor de La cuarta dimensión utiliza la misma analogía que ya utilizó Edwin Abbott en su novela Flatland, A Romance of Many Dimensions (Planilandia, una novela de muchas dimensiones), publicada en 1884. En Flatland, se describe un mundo de dimensión 2 en el que los habitantes son círculos, triángulos y cuadrados, que viven en un plano y experimentan la visita de una esfera, un ser tridimensional. Al igual que nosotros no podemos concebir cuatro dimensiones, un habitante de Flatland es incapaz de concebir las tres dimensiones y cuando la esfera entra en su mundo, lo que ven es una sucesión de círculos que van cambiando de tamaño a medida que la esfera cruza Flatland, lo que les impide comprender cómo es la esfera realmente.

Pero cuando la esfera, suspendida sobre Flatland, mira a estos seres bidimensionales ve todo su perímetro exterior y también ve su interior. En cambio, los habitantes de Flatland se ven solo un lado de su perímetro, de hecho se ven casi como segmentos (salvo por la profundidad). Pensemos ahora en nosotros, seres tridimensionales, ¿cómo nos vemos entre nosotros?. Nos vemos un lado de nuestra superficie exterior, casi como planos (salvo por la profundidad). Pero, ¿cómo nos vería un ser cuatridimensional?. Nos vería toda nuestra superficie exterior, es decir, por todas partes, y también nos vería nuestro interior (nuestro corazón, pulmones, venas,…). Y nos vería todo esto de un sólo vistazo, sin necesidad de diferentes puntos de vista, al igual que ocurre con la visión que la esfera tiene de los habitantes de Flatland.

Al igual que un habitante de Flatland nunca podría tener una visión completa de un cubo, nosotros no podemos tener una visión completa de un hipercubo. Pero sí que podemos visualizar su proyección tridimensional, del mismo modo que un habitante de Flatland puede ver la “sombra” de un cubo poyectada sobre su universo de 2 dimensiones. El siguiente ejercicio es fácil de hacer y nos da una idea bastante aproximada de lo que podría ser un hipercubo.

Construyamos un cubo pegando palillos y situémoslo debajo de la luz de un flexo. Al girarlo, su sombra cambiará de forma. Esto es lo más parecido a un cubo que alguien de un mundo bidimensional puede percibir. Ahora supongamos que un “hiperser” de cuatro dimensiones hace girar su hipercubo y lo proyecta sobre nuestro universo tridimensional. ¿Qué es lo que veríamos? … Veríamos cómo gira la sombra tridimensional del hipercubo. En Youtube, podemos encontrar simulaciones bastante fieles de este fenómeno.

[youtube width=”530″ height=”410″]http://www.youtube.com/watch?v=CtSNStVW81M&NR=1[/youtube]

Para los que quieran profundizar un poco más, os dejo otro vídeo donde Carl Sagan explica algunas de las ideas comentadas en este post.

[youtube width=”530″ height=”410″]http://www.youtube.com/watch?v=LVSCEWJQKOQ[/youtube]

Este artículo ha sido publicado en colaboración con Webmarket | Diseño web

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